Tập hợp các số tự nhiên N {\displaystyle \mathbb {N} } đi kèm thứ tự thông thường ≤ {\displaystyle \,\leq \,} là một trong những ví dụ quan trọng về tập có hướng (và cũng về tập hợp sắp thứ tự toàn phần). Theo định nghĩa, lưới là một hàm số từ tập có hướng đi từ tập có hướng, còn dãy số là hàm từ tập các số tựn hiên N . {\displaystyle \mathbb {N} .} Mỗi dãy số đều chính tắc trở thành một lưới bằng cách đi kèm với N {\displaystyle \mathbb {N} } thêm quan hệ ≤ . {\displaystyle \,\leq .\,}

Một ví dụ dễ gặp về tập sắp thứ tự riêng phần nhưng không có hướng là tập { a , b } , {\displaystyle \{a,b\},} cùng với hai quan hệ thứ tự duy nhất a ≤ a {\displaystyle a\leq a} và b ≤ b . {\displaystyle b\leq b.}

Nếu x 0 {\displaystyle x_{0}} là một số thực nào đó thì tập hợp hợp I := R ∖ { x 0 } {\displaystyle I:=\mathbb {R} \backslash \lbrace x_{0}\rbrace } có thể biến đổi thành tập có hướng bằng cách định nghĩa a ≤ I b {\displaystyle a\leq _{I}b} if | a − x 0 | ≥ | b − x 0 | {\displaystyle \left|a-x_{0}\right|\geq \left|b-x_{0}\right|} (để các số "lớn hơn" sẽ gần hơn với x 0 {\displaystyle x_{0}} ). Khi đó ta nói rằng các số thực đang hướng về x 0 . {\displaystyle x_{0}.} Đây là ví dụ về một tập có hướng nhưng không sắp thứ tự riêng phần hay toàn phần. Lý do nó như vậy là bởi vì tính phản đối xứng không còn đúng cho mọi cặp a {\displaystyle a} và b {\displaystyle b} có cùng khoảng cách với x 0 , {\displaystyle x_{0},} và a {\displaystyle a} và b {\displaystyle b} ở hai bên của x 0 . {\displaystyle x_{0}.} Cụ thể, nó xảy ra khi { a , b } = { x 0 − r , x 0 + r } {\displaystyle \{a,b\}=\left\{x_{0}-r,x_{0}+r\right\}} cho một số thực r ≠ 0 , {\displaystyle r\neq 0,} Khi đó sẽ có a ≤ I b {\displaystyle a\leq _{I}b} và b ≤ I a {\displaystyle b\leq _{I}a} mặc dù a ≠ b . {\displaystyle a\neq b.} Nếu tiền thứ tự này được định nghĩa ngay trên R {\displaystyle \mathbb {R} } thay vì R ∖ { x 0 } {\displaystyle \mathbb {R} \backslash \lbrace x_{0}\rbrace } thì nó vẫn sẽ lập thành tập có hướng nhưng đồng thời nó sẽ có phần tử lớn nhất (duy nhất) chính là x 0 {\displaystyle x_{0}} ; tuy nhiên, kể cả vậy nó vẫn sẽ không phải là tập sắp thứ tự toàn phần. Ví dụ này có thể tổng quát hoá cho không gian mêtric ( X , d ) {\displaystyle (X,d)} bằng cách định nghĩa trên X {\displaystyle X} hay X ∖ { x 0 } {\displaystyle X\setminus \left\{x_{0}\right\}} tiền thứ tự a ≤ b {\displaystyle a\leq b} khi và chỉ khi d ( a , x 0 ) ≥ d ( b , x 0 ) . {\displaystyle d\left(a,x_{0}\right)\geq d\left(b,x_{0}\right).}

Sử dụng ví dụ "các số thực hướng về x 0 {\displaystyle x_{0}} " ở trước nhưng đổi sao cho luật sắp xếp chỉ áp dụng với các cặp phần tử ở cùng một bên của x 0 {\displaystyle x_{0}} thì tập đó sẽ không có hướng nữa (bởi vì, nếu ta lấy a {\displaystyle a} ở bên trái của x 0 , {\displaystyle x_{0},} và b {\displaystyle b} ở bên phải, thì a {\displaystyle a} và b {\displaystyle b} không so sánh được với nhau, và do vậy, tập con { a , b } {\displaystyle \{a,b\}} không có cận trên).

Phần tử tối đại và phần tử lớn nhất

Phần tử m {\displaystyle m} của tập sắp tiền thứ tự ( I , ≤ ) {\displaystyle (I,\leq )} là phần tử tối đại nếu cho mọi j ∈ I , {\displaystyle j\in I,} m ≤ j {\displaystyle m\leq j} suy ra j ≤ m . {\displaystyle j\leq m.} [5]Nó là phần tử lớn nhất nếu với mọi j ∈ I , {\displaystyle j\in I,} j ≤ m . {\displaystyle j\leq m.}

Bất kỳ tập sắp tiền thứ tự đi cùng với một phần tử lớn nhất đều là tập có hướng với cùng tiền thứ tự đó.Ví dụ chẳng hạn, trong poset P , {\displaystyle P,} mọi Bao đóng dưới của một phần tử (bao đóng dưới là các tập con có dạng { a ∈ P : a ≤ x } {\displaystyle \{a\in P:a\leq x\}} trong x {\displaystyle x} là phần tử cố định được cho trước từ P , {\displaystyle P,} ) là tập có hướng.

Mọi phần tử tối đại của tập sắp tiền thứ tự có hướng đều sẽ lớn nhất. Thật vậy, tập sắp tiền thứ tự có hướng có đặc trưng là tập các phần tử tối đại (có thể rỗng) và tập các phần tử lớn nhất bằng với nhau,

Tích của các tập có hướng

Gọi D 1 {\displaystyle \mathbb {D} _{1}} và D 2 {\displaystyle \mathbb {D} _{2}} là hai tập có hướng. Khi đó, tích Descartes của chúng D 1 × D 2 {\displaystyle \mathbb {D} _{1}\times \mathbb {D} _{2}} có thể biến thành tập có hướng bằng cách định nghĩa ( n 1 , n 2 ) ≤ ( m 1 , m 2 ) {\displaystyle \left(n_{1},n_{2}\right)\leq \left(m_{1},m_{2}\right)} khi và chỉ khi n 1 ≤ m 1 {\displaystyle n_{1}\leq m_{1}} và n 2 ≤ m 2 . {\displaystyle n_{2}\leq m_{2}.} Tương tự với thứ tự tích, đây là hướng tích của tích Descartes. Ví dụ chẳng hạn, tập hợp N × N {\displaystyle \mathbb {N} \times \mathbb {N} } của các cặp số tự nhiên có thể biến thành tập có hướng bằng cách định nghĩa thêm quan hệ ( n 0 , n 1 ) ≤ ( m 0 , m 1 ) {\displaystyle \left(n_{0},n_{1}\right)\leq \left(m_{0},m_{1}\right)} khi và chỉ khi n 0 ≤ m 0 {\displaystyle n_{0}\leq m_{0}} and n 1 ≤ m 1 . {\displaystyle n_{1}\leq m_{1}.}

Bao hàm tập hợp

Quan hệ bao hàm tập hợp ⊆ , {\displaystyle \,\subseteq ,\,} cùng với đối ngẫu của nó ⊇ , {\displaystyle \,\supseteq ,\,} định nghĩa thứ tự riêng phần trên bất kỳ họ các tập hợp. Họ khác rỗng của các tập hợp là tập có hướng tương ứng thứ tự riêng phần (hoặc ngược lại ⊆ {\displaystyle \,\subseteq \,} ) khi và chỉ khi phần giao (ngược lại là phần hợp) của bất kỳ hai trong số chúng chứa (ngược lại, là tập con của) một phần tử thứ ba nào đó. Viết dưới ký hiệu họ I {\displaystyle I} của các tập hợp là tập có hướng theo quan hệ ⊇ {\displaystyle \,\supseteq \,} (hoặc, ⊆ {\displaystyle \,\subseteq \,} ) khi và chỉ khi

hoặc tương đương,

Nhiều ví dụ quan trọng của tập có hướng có thể định nghĩa bằng cách sử dụng các thứ tự riêng phần. Ví dụ chẳng hạn, theo định nghĩa, tiền bộ lọc hay cơ sở lọc là họ tập hợp khác rỗng và là tập có hướng tương ứng với thứ tự riêng phần ⊇ {\displaystyle \,\supseteq \,} và bên cạnh đó cũng không chứa tập rỗng (điều kiện này ngăn chặn tính tầm thường, bởi nếu kèm vào thì tập rỗng sẽ trở thành phần tử lớn nhất và phần tử nhỏ nhất tương ứng với ⊇ {\displaystyle \,\supseteq \,} ). Mọi π-hệ thống (π-hệ thống là học tập hợp khác rỗng đóng dưới phép giao bất kỳ hai phần tử trong tập hợp) là tập có hướng tương ứng ⊇ . {\displaystyle \,\supseteq \,.} Mọi λ-hệ thống (hay hệ thống λ) là tập có hướng tương ứng với ⊆ . {\displaystyle \,\subseteq \,.} Mọi bộ lọc, tô pô, và σ-đại số là tập có hướng tương ứng với ⊇ {\displaystyle \,\supseteq \,} và ⊆ . {\displaystyle \,\subseteq \,.} Nếu x ∙ = ( x i ) i ∈ I {\displaystyle x_{\bullet }=\left(x_{i}\right)_{i\in I}} là bất kỳ lưới từ tập có hướng ( I , ≤ ) {\displaystyle (I,\leq )} thì cho bất kỳ chỉ số i ∈ I , {\displaystyle i\in I,} tập hợp x ≥ i := { x j : j ≥ i  với  j ∈ I } {\displaystyle x_{\geq i}:=\left\{x_{j}:j\geq i{\text{ với }}j\in I\right\}} được gọi là đuôi của ( I , ≤ ) {\displaystyle (I,\leq )} bắt đầu từ i . {\displaystyle i.} Họ Tails ⁡ ( x ∙ ) := { x ≥ i : i ∈ I } {\displaystyle \operatorname {Tails} \left(x_{\bullet }\right):=\left\{x_{\geq i}:i\in I\right\}} của tất cả các đuôi là tập có hướng tương ứng với ⊇ ; {\displaystyle \,\supseteq ;\,} thậm chí, nó còn là tiền bộ lọc.

Nếu T {\displaystyle T} là không gian tô pô và x 0 {\displaystyle x_{0}} là một điểm trong T , {\displaystyle T,} thì tập tất cả các lân cận của x 0 {\displaystyle x_{0}} có thể biến đổi thành tập có hướng bằng cách viết U ≤ V {\displaystyle U\leq V} khi và chỉ khi U {\displaystyle U} chứa V . {\displaystyle V.} Với mọi U , {\displaystyle U,} V , {\displaystyle V,} và W {\displaystyle W}  :

• U ≤ U {\displaystyle U\leq U} bởi U {\displaystyle U} chứa chính nó.
• Nếu U ≤ V {\displaystyle U\leq V} và V ≤ W , {\displaystyle V\leq W,} thì U ⊇ V {\displaystyle U\supseteq V} và V ⊇ W , {\displaystyle V\supseteq W,} suy ra U ⊇ W . {\displaystyle U\supseteq W.} Do đó U ≤ W . {\displaystyle U\leq W.}
• Bởi x 0 ∈ U ∩ V , {\displaystyle x_{0}\in U\cap V,} và vì đồng thời U ⊇ U ∩ V {\displaystyle U\supseteq U\cap V} và V ⊇ U ∩ V , {\displaystyle V\supseteq U\cap V,} nên U ≤ U ∩ V {\displaystyle U\leq U\cap V} và V ≤ U ∩ V . {\displaystyle V\leq U\cap V.}

Tập hợp Finite ⁡ ( I ) {\displaystyle \operatorname {Finite} (I)} chứa tất cả tập con hữu hạn của tập I {\displaystyle I} là tập có hướng tương ứng với ⊆ {\displaystyle \,\subseteq \,} bởi cho bất kỳ hai A , B ∈ Finite ⁡ ( I ) , {\displaystyle A,B\in \operatorname {Finite} (I),} hợp của chúng A ∪ B ∈ Finite ⁡ ( I ) {\displaystyle A\cup B\in \operatorname {Finite} (I)} là cận trên của A {\displaystyle A} trong B {\displaystyle B} in Finite ⁡ ( I ) . {\displaystyle \operatorname {Finite} (I).} Tập có hướng này được dùng để định nghĩa tổng ∑ i ∈ I r i {\displaystyle {\textstyle \sum \limits _{i\in I}}r_{i}} của chuỗi đã tổng quát của họ đánh chỉ số I {\displaystyle I} của các số ( r i ) i ∈ I {\displaystyle \left(r_{i}\right)_{i\in I}} (hoặc tổng quát hơn là, tổng của các phần tử trong một nhóm tô pô giao hoán, ví dụ như các vectơ trong không gian vectơ tô pô) là giới hạn của lưới các tổng riêng phần F ∈ Finite ⁡ ( I ) ↦ ∑ i ∈ F r i ; {\displaystyle F\in \operatorname {Finite} (I)\mapsto {\textstyle \sum \limits _{i\in F}}r_{i};} nghĩa là: